一种基于常微分方程组的隧道窑窑车仿真数学模型介绍

本篇介绍了一个易于理解的用于仿真分析隧道窑窑车的数学模型方法，希望通过我在这里的简要描述，能对耐火材料相关企业或者相关单位，正在学习该部分内容的技术人员提供一个借鉴和参考。

一、引言

大家知道，隧道窑主要是用来烧制耐火砖、屋顶瓦片、卫生陶瓷等陶瓷制品。坯料在窑内的烧制温度大多超过了1000℃，是整个产品生产加工过程中最费能的环节。隧道窑的窑车衬砖使用耐火材料制造，窑车和制品的质量比有时可以超过1，也就是窑车比要烧成的制品还要重。烧成过程中，窑车与制品同样经受了预热、烧成以及冷却的过程，由于其较大的质量及由其带来的较强蓄热能力，在整个的热过程中，会消耗大量的能量，引起巨大的能量损失，也会引起大量温室气体排放。

从坯料完整烧成工艺来说，全过程不仅需要很高的能量供给，而且也会因化石燃料的燃烧，向大气直接排放大量的二氧化碳。一般情况下，在陶瓷制品的生产过程中，大致有30-40%的成本是能源成本。随着企业来自政府的温室气体减排政策压力与自身的成本压力日益增加，企业会越来越关注隧道窑的节能问题。

二、提出问题

这里首先抛出来几个耐火材料企业、陶瓷生产企业，热工技术人员可能比较关心的问题：

1、我们知道使用低导热及轻“质”的窑车可以增加制品的烧成温度并降低能耗，但是如何进行定量分析？

2、如果企业目前没有装配节能窑车，对现有窑车如何进行改造以降低能耗，有没有简单易操作的办法临时处置？

4、通过什么方法可以分析窑车轻“质”化改造带来的综合效益？

为了深入理解制品（坯料）、窑车以及气体在隧道窑烧成过程中的热本质，并分析窑车衬砖各层热传导情况，这里介绍一个一般意义上，普遍适用于隧道窑烧成仿真的数值方法，该方法有助于回答上边哪些问题。

三、模型思路

模型建立的基本思路是用一个逆流换热器来对比一个隧道窑（以耐火砖产品为例）。为什么可以这样对比呢？因为窑车、砖坯和气体，按照相反的方向移动，与逆流换热器中冷流体与热流体按照相反的方向移动非常类似。如图1所示：

图1 隧道窑内物料和空气流移动及一般布置示意图

所以，可以用换热器中描述逆流流体温度变化的数学方程，类比地用于隧道窑。这些方程是用以描述换热器微小纵向截面上，反映流体焓变的基本常微分方程，这里的焓变指的是两种流体由于温差而交换的热量。

在隧道窑中，我们可以假想地认为存在三种物流，它们相互进行着换热行为：第一种是砖坯；第二种则是窑车；第三种是与前两种物流移动方向相反的气体（包括烟气和冷却空气）。

对于窑车来说，一般由多层材料组成，单一常微分方程不能代表气体和砖坯之间的相互作用。鉴于窑车衬砖层分为多层，所以每一层都需要一个常微分方程来描述其热量的传导。窑车衬砖多层结构示意图见图2；常微分方程建立机理依据如图3：

四、建模过程

以气体、砖坯以及窑车衬砖各层为研究对象，分别建立热平衡方程。

1、窑内气体温度方程

窑内气体的焓变等于流体的净热量的变化，用（1）式表达。

气体焓变dH_Gas等于气体向窑内砖坯传递的热（-Q_Gas→Solid），加上气体向窑车衬砖1层传递的热量（-Q_Gas→1），再加上气体向窑炉内壁面传递的热量（-Q_Wall）。其中，Q_Gas→Solid包含了对流传热热量Q_{conv,Gas→Solid}和辐射传热热量Q_{Rad,Gas→Solid}。气体对窑车第一衬砖层的传热量也包括了对流传热Q _conv,Gas→1和辐射传热Q _Rad,Gas→1。气体向窑墙的传热，是通过墙壁的热传导Q_cond,Wall的方式，最终会以热对流Q _{conv,Wall→air}和热辐射Q_{Rad,Wall→air}方式散失到窑炉外部环境中去。

2、砖坯温度方程

砖坯的焓变dH_solid，等于气体向其提供的热量Q_Gas→Solid减去砖坯向窑车衬砖1层传递的热量Q_Solid→1，而后者是通过辐射传热实现的，辐射热量Q _{Rad, Solid→1}为：

3、窑车衬砖1层温度分布方程

窑车最上部的衬砖层得到的热量H₁来自于气体对其的传热Q _Gas→1以及砖坯对其的传热Q_Solid→1，这些热量Q_cond,1→2会通过第1层以热传导的方式传递给下一衬砖层，即衬砖2层。

4、窑车第i层温度方程

对于窑车第i衬砖层的热传递，是以热传导形式体现，热量从上一层向第i层的下一层进行传递。就第i层来说，从上边进入的热量Q _cond,i-1→i与向下一层传导的热量Q _cond,i→i+1的差值，就是第i层实际的热量变化，也就是其焓变H_i。

5、窑车底层温度方程

窑车第n层也就是窑车的底层热传热情况，也就是窑车底层的焓变来自于上边倒数第二层，通过热传导给它的热量Q _cond,n-1→n。如果在隧道窑的底部有窑底风机鼓风以降低窑底温度，那么，最下边一层的焓变应该等于其上一层，也就是倒数第二层热传导传递的热量减去窑底对流传热，由冷却风带走的热量。

没有窑底风机情况为：

6、砖坯与窑车之间的辐射传热

通过（10）式进行砖坯与窑车第一层之间的热辐射计算：

这里设置了一个热辐射传热系数α_HT→LT，该系数通过以下（11）进行计算：

方程（10）中的整体发射率可以按照（12）计算。

发射率一般根据窑车上砖坯码垛的情况有所不同，比如砖坯和瓦片的发射率就不一样。比如瓦片的话，与窑车最上层衬砖层之间存在小的缝隙，这里可以将其看成平行的平板（瓦片面与窑车衬砖面之间）来近似处理。然而砖坯的处理与瓦片不同，这里可以近似地将每垛砖坯与窑车顶层之间的辐射近似看成两个垂直的平面，是一个垂直关系，这里依据这个选取角系数参数。

在下边表格1里，列出了由以上热平衡方程导出的详细的关于气体、砖坯以及窑车不同衬砖层的热传递常微分方程。

表1 基于热平衡的不同物流换热常微分方程组 

方程可以通过MATLAB软件中的ODE求解器进行数值求解。也可以使用Simscape进行物理建模，从而避免复杂编程的问题。本例中，需要联立的差分方程的数量，可以根据窑车的衬砖层数量、气体方程、和坯料与窑具的热平衡方程进行确定。通过以上方法，对隧道窑的整个热过程进行仿真得到窑炉内部的热传递本质，同时也为窑车衬砖层的设计提供的宝贵的数据和信息支撑。

五、结果展示

经过仿真我们可以得到相关结论，部分结论，如温度分布曲线对比图，见图4。窑车衬砖各层温度分布曲线对比见图5。

六、内容说明

本篇内容是作者根据德国马格德堡大学的Denny Mathew等人在《Thermal Science and Engineering Progess》（《热科学与工程进展》）发表的一篇文章进行翻译后，结合隧道窑相关知识提炼整理得到的。具体的模型建立的思路、方法、公式以及图片均来自原来期刊，而非作者本人。作者仅是对内容进行提炼和整理，并加入了个人的理解和思考，向大家介绍相关方法的目的，仅仅是促进知识的传播，而非出版等获益目的。希望能有助于相关技术人员开展此类工作。

七、参考文献

Denny Mathew,et al. Effect of kiln car weight on the tunnel kiln process [J].Thermal Science and Engineering Progess,Otto von Guericke University,Mogdeburg,Germany,2023.