关于导热微分方程矢量形式中拉普拉斯算子的详细解释和说明

《传热学》中一些公式使用了较为难懂的数学表达方式，这就使工程技术人员在学习或复习传热学的时候可能遇到了一定的困难。当然，这也对我们提出了更高的数学基础要求。本文尝试着使用较为通俗的方法对导热微分方程矢量形式中拉普拉斯算子进行解释和说明，希望能帮助技术人员理解稳态传热和非稳态传热过程的数学描写公式。

那么我们开始：

首先，需要了解一下哈密尔顿算子：“▽”，读作Nabla，也有读作“del”，是对矢量（或标量）求一阶偏导，也就是矢量空间内x,y,z三个坐标轴上的梯度。表达式为：

其中，i、j、k是不同方向上的单位向量。汉密尔顿算子是一个矢量微分算符，它本身没有实际意义，只有作用在它后面的量（标量或者矢量）上，才有实际意义，它的运算遵从向量的法则。

哈密尔顿算子在运算中，具有微分和矢量双重运算性质，其优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而简化运算过程，使推导简明扼要，易于掌握。在传热学温度场的数学描写中，该算符仅仅表示标量场温度T的各方向一阶导数，也就是求一下梯度。

如果一个将“▽”作用在一个标量函数（标量场），如温度T上，那就是在向量空间中的不同方向，求温度的一阶导数；也就是求三个坐标轴方向的梯度。这里给出哈密尔顿算子“▽”与梯度的关系为：

如果将“▽”作用两次，也就是将“▽”与“▽T”（温度梯度）做内积也就是点积，那就是对该标量求二阶导数。这里用一个新的算子来表示，就是拉普拉斯算子（Laplace operator, Laplacian）。拉普拉斯算子是n维向量空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度grad的散度div，用英文表达为：Divergence of gradient，也可以写成div(grad)，数学表达为：

上式中运算顺序是，先求梯度，再用“▽”作用一次就得到了散度，说白了就是对温度函数（场）在x,y,z三个方向上进行两次求导（二阶偏导），然后再求和：

这里要说明的是：

1、向量内积是对应分量相乘再相加；

2、▽T是一个标量场，“▽”再用作用一次，仍是标量场（点积后为标量）。

3、我们称▽²为Laplacian，而▽²T就是对T进行拉普拉斯算符运算。在杨世铭和陶文铨的《传热学》第四版115页中，公式3-1a中使用的表达方式为div(gradt)，这里的t和T都代表温度函数（场）。

以上就是对该处的简要解释和说明，希望助力大家的学习之路。

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